Probabilidad

PROBABILIDAD

La probabilidad mide las posibilidades de que cada uno de los posibles resultados en un suceso que depende del azar sea finalmente el que se de.

Por ejemplo: la probabilidad mide la posibilidad de que salga "cara" cuando lanzamos una moneda, o la posibilidad de que salga 5 cuando lanzamos un dado.

La probabilidad es un método por el cual se obtiene la frecuencia de un acontecimiento determinado mediante la realización de un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables.

La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la física, la matemática, las ciencias y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad discreta de sucesos potenciales y la mecánica subyacente discreta de sistemas complejos, por lo tanto es la rama de las matemáticas que estudia, mide o determina a los experimentos o fenómenos aleatorios.

ejemplo:

Ejemplo: Hay 87 canicas en una bolsa y 68 son verdes. Si se escoge una, ¿cuál es la probabilidad de que esta sea verde?

Solución: Divide la cantidad de formas de elegir una canica verde (68) por la cantidad total de canicas (87)                        

 68 ÷ 87 = 0.781609

Redondea a la precisión deseada (es decir 0.781609 redondeado a centésimos es 0.78)

PROBABILIDAD CONJUNTA

Dada la experiencia aleatoria con espacio maestral Ω y dos eventos A y B, se define un nuevo evento  llamado conjunción  de A y B, que se denota A∩B, de la siguiente manera: A∩B ocurre siempre que ocurra A y ocurra B, es decir, que ocurran ambos simultáneamente.

La probabilidad de A∩B, que simboliza  P(A ∩ B), se le llama probabilidad conjunta de A y B.

EJEMPLO:

-En una tómbola hay 3 bolas rojas y 5 blancas. Se extraen unaa una y sin reposición, dos bolas. La probabilidad de que ambas resulten rojas es:   Solución:

Los eventos de extracción son independientes, por lo tanto, la probabilidad pedida

será el producto de cada una de las probabilidades individuales. La 1º extracción tiene 3 casos favorables de untotal de 8 bolas. La probabilidad es 3/8. La 2º tiene 2 casos favorables de un total de7 bolas que quedan. Su probabilidad es 2/7  Así, la probabilidad pedida es

P=(3/8)(2/7)

P=(3/4)(1/7)

P=3/28

ADICION DE LA PROBABILIDAD

1.-Escribe la regla de la suma y explícala con palabras. Esta se da por P(A + B) = P(A) + P(B). Explica que A y B son eventos que pueden ocurrir, pero no pueden hacerlo al mismo tiempo.

2.-Da ejemplos de eventos que no pueden ocurrir simultáneamente y muestra cómo funciona la regla. Un ejemplo:

 La probabilidad que la siguiente persona que entre al salón sea un estudiantes y la probabilidad de que la siguiente persona sea un maestro. Si la probabilidad de que la persona sea un estudiante es 0,8 y la que sea unos maestros 0,1, entonces la probabilidad de que la persona sea un maestro o un estudiante es 0,8 + 0,1 = 0,9.

MULTIPLICACIÓN DE LA PROBABILIDAD

1.-Escribe la regla y explica el significado. La regla es P( E*F) = P(E)*P(F) donde E y F son eventos independientes. Explica que independientes significa que un evento ocurriendo no tiene efecto en la probabilidad de que otro ocurra.

2.-Da ejemplos de cómo la regla funciona cuando los eventos son independientes. Un ejemplo: Al seleccionar cartas de una baraja de 52 cartas, la probabilidad de obtener un As es de 4/52 =1/13, porque hay 4 Ases entre las 52 cartas (esto debió de haberse explicado en otra lección anterior). La probabilidad de seleccionar corazón es 13/52 = 1/4. La probabilidad de escoger un As de corazones es de 1/4*1/13 =1/52.

3.-Da ejemplos de donde la regla falla porque los eventos no son independientes. Un ejemplo:

 la probabilidad de escoger un As es de 1/13, la probabilidad de seleccionar un 2 es también de 1/13. Pero la probabilidad de escoger un As y un dos en la misma baraja no es de 1/13*1/13, sino que es 0, porque los eventos no son independientes.

PROBABILIDAD CONDICIONAL

Las probabilidades condicionadas se calculan una vez que se ha incorporado información adicional a la situación de partida:

Ejemplo: se tira un dado y sabemos que la probabilidad de que salga un 2 es 1/6 (probabilidad a priori). Si incorporamos nueva información (por ejemplo, alguien nos dice que el resultado ha sido un número par) entonces la probabilidad de que el resultado sea el 2 ya no es 1/6.

Las probabilidades condicionadas se calculan aplicando la siguiente fórmula:

Donde:

P (B/A) es la probabilidad de que se de el suceso B condicionada a que se haya dado el suceso A.

P (B L A) es la probabilidad del suceso simultáneo de A y de B

P (A) es la probabilidad a priori del suceso A

En el ejemplo que hemos visto:

P (B/A) es la probabilidad de que salga el número 2 (suceso B) condicionada a que haya salido un número par (suceso A).

P (B L A) es la probabilidad de que salga el dos y número par.

P (A) es la probabilidad a priori de que salga un número par.

Por lo tanto:

P (B L A) = 1/6

P (A) = 1/2

P (B/A) = (1/6) / (1/2) = 1/3

Luego, la probabilidad de que salga el número 2, si ya sabemos que ha salido un número par, es de 1/3 (mayor que su probabilidad a priori de 1/6).

TEOREMA DE BAYES

El Teorema de Bayes viene a seguir el proceso inverso al que hemos visto en el Teorema de la probabilidad total:

Teorema de la probabilidad total: a partir de las probabilidades del suceso A (probabilidad de que llueva o de que haga buen tiempo) deducimos la probabilidad del suceso B (que ocurra un accidente).

Teorema de Bayes: a partir de que ha ocurrido el suceso B (ha ocurrido un accidente) deducimos las probabilidades del suceso A (¿estaba lloviendo o hacía buen tiempo?).

La fórmula del Teorema de Bayes es:

Tratar de explicar estar fórmula con palabras es un galimatías, así que vamos a intentar explicarla con un ejemplo. De todos modos, antes de entrar en el ejercicio, recordar que este teorema también exige que el suceso A forme un sistema completo.